İçindekiler

Mohr Çemberi Nedir?

Mohr çemberi, gerilme altındaki bir malzeme elemanının tüm açılardaki normal ve kayma gerilmelerini gösteren geliştirilmiş bir grafik yöntemidir. Mukavemet derslerinde sıkça kullanılan bu yöntem, karmaşık gerilme durumlarını sadeleştirerek, mühendislerin ve mühendis adaylarının problem çözmesini kolaylaştırır.

Bir parçaya aynı anda çekme, basma ve kayma gerilmeleri etki edebilir. Bu durumda hangi eksende en kritik gerilmelerin oluştuğunu bulmak doğrudan formüllerle zor olabilir. Bu bileşkelerin hangi düzlemde etkin olduğunu kolayca görmemizi sağlar.

Mohr Çemberinin Önemi ve Kullanım Alanı

Örneğin; hareket halindeki bir otomobilin şaftında hem kesme gerilmesi (motordan gelen tork etkisiyle) hem de çekme-basma gerilmeleri (eğilme momentinden dolayı) aynı anda oluşur. Bu durumda şaftın üst tarafında basma, alt tarafında çekme, kesitte ise kayma gerilmeleri meydana gelir.

Çember çizildiğinde, bu karmaşık gerilmelerin bileşkesi görülebilir ve şaft üzerindeki asal gerilmeler (principal stresses) ile bu gerilmelerin hangi düzlemlerde oluştuğu kolayca hesaplanabilir.

Mohr Çemberinde Koordinat Sistemi

X ekseni → normal gerilmeleri (σ) gösterir.
Y ekseni → kayma gerilmelerini (τ) gösterir.

Normal gerilmeler çemberin yatay ekseninde en uç noktalara ulaştığında, bu noktaların kayma bileşeni sıfır olur. Bu da asal gerilmelerin (σ1, σ2) bulunduğu eksenlerdir.

Bu özel düzlemlere asal düzlemler (principal planes) adı verilir.

Temel Formülleri

Mohr çemberi hem grafiksel hem de analitik yöntemlerle elde edilebilir. İşte temel bağıntılar:

$\sigma_{ort}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$

$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^2}$

Mohr Çemberinde Açıların Gösterimi

Gerçek eleman üzerinde θ derecelik bir dönme, çember üzerinde 2θ ile gösterilir. Bu nedenle asal gerilmelere ulaşmak için çember üzerindeki çap, saat yönünün tersine 2θ kadar döndürülür.

Pisagor bağıntısından yararlanılarak asal düzlemlere ulaşmak için gereken açı şu şekilde ifade edilir:

$\tan2\theta=\frac{\tau_{xy}}{\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}}=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$

Asal Gerilmeler (Principal Stresses)

Mohr çemberinin merkezinden yarıçap kadar sağa ve sola gidildiğinde asal gerilmeler bulunur.

$\sigma_1=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\sqrt{\frac{(\sigma_x-\sigma_y)^{2}}{4}+\tau_{xy}^2}$

$\sigma_2=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}-\sqrt{\frac{(\sigma_x-\sigma_y)^{2}}{4}+\tau_{xy}^2}$

Maksimum Kayma Gerilmesi

Kayma gerilmesinin en yüksek değeri, çemberinin yarıçapına eşittir.

$\tau_{max}=\sqrt{\frac{(\sigma_x-\sigma_y )^2}{4}+\tau_{xy}^2}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$

Bu değer, çemberin en üst ve en alt noktalarında bulunur. Maksimum kayma gerilmesinin oluştuğu düzlemler asal düzlemlere dik olacak şekilde konumlanır.